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初中数学:反比例函数面积、最值等模型

英才学习10个月前 (05-19)初中常见模型356

初中数学:反比例函数面积、最值等模型

一、面积K模型定义

反比例函数 y=k/x (k≠0) 中比例系数的几何意义:

在一个反比例函数图像上任取一点,过点分别作x轴,y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为|k|,

反比例函数上一点向x、y轴分别作垂线,分别交于x轴和y轴,则QOWM的面积为|k|,则连接该矩形的对角线即连接OM,则RT△OMQ的面积=½|k|。


具体反比例函数图像与性质详见:https://yc8.com.cn/wenzhang/202305/2850.html


二、相关模型

(一)反比例函数图像上的坐标矩形与坐标三角形的面积

1.如图1,若反比例函数解析式为y=x/k,则;S矩形OBAC=|k|;

2.如图2,若反比例函数解析式为y=x/k,则;S△OAB=1/2·|k|。


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上面2个证明较为简单,这里就不具体阐述。


(二)反比例函数中的三角形与等积梯形

1.如图3,若反比例函数解析式为y=k/x,则;S△OAB=S梯形BCDA

2.如图4,若反比例函数解析式为y=k/x,则(1)S△OAB=S梯形CDEA;(2) CD2=EB·EA;

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结论证明如下:

1.易知S△BOC=S△AOD=1/2·|k|

∴S△BOM=S梯形ADCM

∴S△BOM+S△ABM=S梯形ADCM+S△ABM,即S△AOB=S梯形BCDA


2.易知S△COD=S△BOE=1/2·|k|,∴S△COM=S梯形BEDM,则

(1)S△COM+S△梯形ABMC=S梯形BEDM+S梯形ABMC,即S△AOB=S梯形ACDE

(2)易知CD·OD=BE·OE,∴BE:CD=OD:OE=CD:AE,即CD2=EB·EA。


(三)过双曲线上两点的矩形或直角三角形

如图5:

1.S△OAP=S△OPB=1/2(S矩形OCPD-|k|);

2.(1)PB:BD=PA:AC;(2)AB∥CD;

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结论证明如下:

1、∵矩形PCOD∴△PCO≌△PDO,则S△PCO=S△PDO,由(一)知,S△ACO=S△BDO=1/2·|k|,∴S△OAP=S△OPB=1/2(S矩形OCPD-|k|);


2、∵S△ACO=S△BDO,S△OAP=S△OBP,∴PB·OD=PA·OC,BD·OD=AC·OC;∴PB:PA=AC:BD=OC:AD,则PB:BD=PA:AC,∴AB∥CD;


(四)同一象限内反比例函数图像上两点连线的平行线

1.如图6,过反比例函数y=k/x上两点A、B,分别作坐标轴的垂线 ,垂足为C、D,则AB∥CD;

2.如图7,过反比例函数y=k/x图像上的点A、B分别向两条坐标轴作垂线,垂足分别为E、F、C、D,则AB∥CD∥EF;

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结论证明如下:

对于1中的结论,可以仿照图5中2的证法。也可以在图7中,一次性予以证明。我们从证明中可以体会到“面积法”的神奇作用。

如图8,连接AF、BE、AC、BD,则S△ADC=S△BCD=1/2·|k|,∴AD·CM=BC·DM,即AD:DM=BC:CM,则AB∥CD;且易知∴S△BEF=S△AEF=1/2·|k|,根据等底等高的三角形面积相等,则△BEF和△AEFEF边上的高相等,则AB∥EF。∴AB∥CD∥EF。

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(五)一次函数被反比例函数所截得到的等线段

1.如图9,若一次函数y=k1x+b与反比例函数y=k2/x交于点A、B,与坐标轴交于点C、D,则AC=BD;

2.如图10,若一次函数y=k1x+b与反比例函数y=k2/x交于点A、B,与坐标轴交于C、D,则AC=BD;

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结论证明如下:

如图11、图12,分别过点A、B作AM⊥y轴于点M,BN⊥x轴于点N,连接MN。运用面积法,仿照如图8中的证明方法,易证明MN∥AB,

则易证明四边形BDMN和四边形ACNM是平行四边形,

∴在图11中,AC=MN=BD。

在图12中,AM=NC,DM=BN,则易证△ADM≌△CBN,则AD=BC。

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(六)关于反比例函数面积问题的一个最值问题

如图18,点P为反比例函数y=k/x的图像上一动点,经过点P作x、y轴的垂线PC、PD,当四边形PDOC为正方形时,周长最小;

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这个结论的证明,要用到一个不等式:a+b≥2√a·√b(基本不等式,点击后面链接查看,https://yc8.com.cn/wenzhang/202305/2836.html)。

我们知道,反比例函数图像上任意一点,向坐标轴“做双垂”构成的坐标矩形的面积为定值|k|。

我们不妨设这个坐标矩形的长为a,宽为b,即a·b=|k|.根据a+b≥2√a·√b,即a+b≥2√k|,当且仅当a=b时,取等号,∴当且仅当a=b是,a+b最小,即当矩形为正方形时,周长最小!


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