初中数学：反比例函数面积、最值等模型

一、面积K模型定义

反比例函数 y=k/x (k≠0) 中比例系数的几何意义：

在一个反比例函数图像上任取一点，过点分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为|k|，

反比例函数上一点向x、y轴分别作垂线，分别交于x轴和y轴，则QOWM的面积为|k|，则连接该矩形的对角线即连接OM，则RT△OMQ的面积=½|k|。

具体反比例函数图像与性质详见：https://yc8.com.cn/wenzhang/202305/2850.html

二、相关模型

（一）反比例函数图像上的坐标矩形与坐标三角形的面积

1.如图1，若反比例函数解析式为y=x/k，则；S_矩形OBAC=|k|；

2.如图2，若反比例函数解析式为y=x/k，则；S_△OAB=1/2·|k|。

、

上面2个证明较为简单，这里就不具体阐述。

（二）反比例函数中的三角形与等积梯形

1.如图3，若反比例函数解析式为y=k/x，则；S_△OAB=S_梯形BCDA；

2.如图4，若反比例函数解析式为y=k/x，则（1）S_△OAB=S_梯形CDEA；（2） CD2=EB·EA；

结论证明如下：

1.易知S_△BOC=S_△AOD=1/2·|k|

∴S_△BOM=S_梯形ADCM，

∴S_△BOM+S_△ABM=S_梯形ADCM+S_△ABM，即S_△AOB=S_梯形BCDA；

2.易知S_△COD=S_△BOE=1/2·|k|，∴S_△COM=S_梯形BEDM，则

（1）S_△COM+S_{△梯形ABMC}=S_梯形BEDM+S_梯形ABMC，即S_△AOB=S_梯形ACDE；

（2）易知CD·OD=BE·OE，∴BE:CD=OD:OE=CD:AE，即CD2=EB·EA。

（三）过双曲线上两点的矩形或直角三角形

如图5：

1.S_△OAP=S_△OPB=1/2(S_矩形OCPD-|k|）；

2.（1）PB：BD=PA：AC；（2）AB∥CD；

结论证明如下：

1、∵矩形PCOD∴△PCO≌△PDO，则S_△PCO=S_△PDO，由（一）知，S_△ACO=S_△BDO=1/2·|k|，∴S_△OAP=S_△OPB=1/2(S矩形OCPD-|k|）；

2、∵S_△ACO=S_△BDO，S_△OAP=S_△OBP，∴PB·OD=PA·OC，BD·OD=AC·OC；∴PB：PA=AC：BD=OC:AD，则PB:BD=PA:AC，∴AB∥CD；

（四）同一象限内反比例函数图像上两点连线的平行线

1.如图6，过反比例函数y=k/x上两点A、B，分别作坐标轴的垂线 ，垂足为C、D，则AB∥CD；

2.如图7，过反比例函数y=k/x图像上的点A、B分别向两条坐标轴作垂线，垂足分别为E、F、C、D，则AB∥CD∥EF；

结论证明如下：

对于1中的结论，可以仿照图5中2的证法。也可以在图7中，一次性予以证明。我们从证明中可以体会到“面积法”的神奇作用。

如图8，连接AF、BE、AC、BD，则S_△ADC=S_△BCD=1/2·|k|，∴AD·CM=BC·DM，即AD:DM=BC:CM，则AB∥CD；且易知∴S_△BEF=S_△AEF=1/2·|k|，根据等底等高的三角形面积相等，则△BEF和△AEFEF边上的高相等，则AB∥EF。∴AB∥CD∥EF。

（五）一次函数被反比例函数所截得到的等线段

1.如图9，若一次函数y=k₁x+b与反比例函数y=k₂/x交于点A、B，与坐标轴交于点C、D，则AC=BD；

2.如图10，若一次函数y=k₁x+b与反比例函数y=k₂/x交于点A、B，与坐标轴交于C、D，则AC=BD；

结论证明如下：

如图11、图12，分别过点A、B作AM⊥y轴于点M，BN⊥x轴于点N，连接MN。运用面积法，仿照如图8中的证明方法，易证明MN∥AB，

则易证明四边形BDMN和四边形ACNM是平行四边形，

∴在图11中，AC=MN=BD。

在图12中，AM=NC，DM=BN，则易证△ADM≌△CBN，则AD=BC。

（六）关于反比例函数面积问题的一个最值问题

如图18，点P为反比例函数y=k/x的图像上一动点，经过点P作x、y轴的垂线PC、PD，当四边形PDOC为正方形时，周长最小；

这个结论的证明，要用到一个不等式：a+b≥2√a·√b（基本不等式，点击后面链接查看，https://yc8.com.cn/wenzhang/202305/2836.html）。

我们知道，反比例函数图像上任意一点，向坐标轴“做双垂”构成的坐标矩形的面积为定值|k|。

我们不妨设这个坐标矩形的长为a，宽为b，即a·b=|k|.根据a+b≥2√a·√b，即a+b≥2√k|，当且仅当a=b时，取等号，∴当且仅当a=b是，a+b最小，即当矩形为正方形时，周长最小！