高中三角形有关五心的向量关系

一、三角形五心

（一）性质

‌1.重心‌

定义：三条中线的交点。

性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1；重心和三角形三个顶点组成的三个三角形面积相等；重心到三角形三个顶点距离的平方和最小；在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数。

2‌.外心‌

定义：三条边的垂直平分线的交点。

性质：外心到三个顶点的距离相等；锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边的中点上，钝角三角形的外心在三角形外部；外心到三顶点的距离相等。

‌3.内心‌

定义：三条内角平分线的交点。

性质：内心到三角形三边的距离相等；内心是三角形内切圆的圆心。

‌4.垂心‌

定义：三条高线的交点。

性质：锐角三角形的垂心在三角形内部，直角三角形的垂心在直角顶点上，钝角三角形的垂心在三角形外部；垂心分每条高线的两部分乘积相等。

5‌.旁心‌

定义：与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫作三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫作三角形旁心。

性质：旁心有三个，与三角形的一边及其他两边的延长线都相切。

（二）三角形五心性质

‌重心‌：到顶点的距离与到对边中点的距离之比为2:1，面积相等，坐标为顶点坐标的算术平均数。

‌外心‌：到三个顶点的距离相等，锐角三角形内部，直角三角形斜边中点，钝角三角形外部。

‌内心‌：到三边的距离相等，是内切圆的圆心。

‌垂心‌：锐角三角形内部，直角三角形顶点，钝角三角形外部，分每条高线的两部分乘积相等。

‌旁心‌：与三角形的一边及其他两边的延长线都相切。

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三角形重心、内心、外心、垂心、旁心（五心）定义、性质及应用

二、三角形五心的向量关系

若有ΔABC,O为其所在平面上一点， ∠A、∠B、∠C所对边分别为a、b、c，则有：

先来看一个几个结论：

1.当共始点三向量方向为星形时，则有：

2. 当共始点三向量方向为爪形时，则有：

3. 若为ΔABC所在平面内不在边上的任一点，则有：

1、2、3的结论综合起来，即可用下图来梳理和理解共始点三向量有关问题：

有关五心相关面积比的简易求法及其向量结论的表示，详见下表（按惯例，令AB=c, BC=a, AC=b）：

综上所述，利用由面积比关系所表示的共始点三向量一般关系式，可将三角形五心的向量结论的理解与记忆转化为三角形（五心）有关的概念、性质等的记忆，从而使理解更透彻、使记忆更轻松且牢固。

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