射影定理

一、定义

射影定理，又称“欧几里德定理”。在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。射影定理是数学图形计算的重要定理。

BD²=AD·DC

AB²=AC·AD

BC²=CD·AC

二、射影定理

中学阶段，射影定理有两个，分别是：

（1）直角三角形中的射影定理：∆在ABC中，B为直角，BD⊥AC，则

BD²=AD·DC，

AB²=AC·AD，

BC²=CD·AC；

（2）任意三角形的射影定理（亦称第一余弦定理 ）：

（3）面积射影定理

(平面多边形及其射影的面积分别是 和 ,它们所在平面所成的二面角为Θ )

证明思路

因为射影就是将原图形的长度（三角形中称高）缩放，所以宽度是不变的，又因为平面多边形的面积比=边长的乘积比。所以就是图形的长度（三角形中称高）的比。

那么这个比值应该是平面所成角的余弦值。在两平面中作一直角三角形，并使斜边和一直角边垂直于棱（即原多边形图的平面和射影平面的交线），则三角形的斜边和另一直角边就是其多边形的长度比，即为平面多边形的面积比。将此比值放到该平面中的三角形中去运算即可得证。