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函数y=Asin(ωx+φ)

英才学习-阿江3个月前 (01-08)三角函数424

函数y=Asin(ωx+φ)

1.探索 $\varphi$ 对 $y=\sin( x+\varphi)$ 图象的影响

（1）动点 $M$ 在单位圆 $O_1$ 上以单位角速度按逆时针方向运动.如果动点 $M$ 以 $Q_0$ 为起点（此时 $\varphi=0$ ），经过 $x\,\,s$ 后运动到点 $P$ ，那么点 $P$ 的纵坐标 $y$ 就等于 $\sin x$ ,以 $(x,\sin x)$ 为坐标描点，可得正弦函数 $y=\sin x$ 的图象.

（2）当起点位于 $Q_1$ 时， $\varphi=\dfrac{\pi}6$ ，可得函数 $y=\sin (x+\dfrac{\pi}6)$ 的图象.

分析：设两动点分别以 $Q_0$ , $Q_1$ 为起点同时开始运动.如果以 $Q_0$ 为起点的动点到达圆周上点 $P$ 的时间为 $x\,\,s$ ，那么以 $Q_1$ 为起点的动点到达圆周上点 $P$ 的时间为 $(x-\dfrac{\pi}6)\,s$ .这个规律反映在图象上就是：如果 $F(x,y)$ 是 $y=\sin x$ 上的一点，那么 $G(x-\dfrac{\pi}6,y)$ 就是 $y=\sin (x+\dfrac{\pi}6)$ 图象上的点.这说明 $y=\sin x$ 的图象向左平移 $\dfrac{\pi}{6}$ 个单位长度，就可以得到 $y=\sin (x+\dfrac{\pi}6)$ 的图象.

（3）一般地，动点 $M$ 的起点位置 $Q$ 所对应的角为 $\varphi$ 时，对应的函数是 $y=\sin(x+\varphi)$ ，把正弦曲线上所有点向左 $(\varphi>0)$ 或向右 $(\varphi<0)$ 平移 $|\varphi|$ 个单位长度，就可以得到 $y=\sin( x+\varphi)$ 图象.

2.探索 $\omega(\omega>0)$ 对 $y=\sin(\omega x+\varphi)$ 图象的影响

设 $G(x,y)$ 是函数 $y=\sin(x+\dfrac{\pi}6)$ 图象上的一点，那么 $K(\dfrac{x}{\omega},y)$ 就是函数 $y=\sin(\omega x+\dfrac{\pi}6)$ 图象上的相应点.

$y=\sin(x+\varphi) \xrightarrow {\text{横坐标变为原来的}\dfrac1\omega\text{倍}} y=\sin(\omega x+\varphi)$

3.探索 $A(A>0)$ 对 $y=A\sin(\omega x+\varphi)$ 图象的影响

$y=\sin(\omega x+\varphi) \xrightarrow {\text{纵坐标变为原来的}A\text{倍}} y=A\sin(\omega x+\varphi)$

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