为什么硬币会多滚一圈？

为什么硬币会多滚一圈？

今天我们要讲的这个问题，就是这么一个让美国高考（SAT）的出题人都惨遭“翻车”的数学问题.它叫“硬币悖论”.

让我们一起拿出两枚一模一样的硬币来做个实验.

假设我把其中一枚硬币固定在桌面上（称为硬币A），然后用另一枚硬币（称为硬币B）紧紧地贴着它，无滑动地滚动一整圈，直到滚回起点.请问，硬币B自己转了几圈？

在做实验之前，直觉告诉我们：两枚硬币半径一样，周长自然也相等.既然要滚过的一个周长，那不就刚好转一圈吗？

但如果你真的拿两枚硬币去试验一下，你会惊讶地发现，实际上它转了两圈！

硬币转了两圈

那么，为什么硬币会“多转一圈”呢？

这就是困扰了无数人的“硬币悖论”.不要着急，今天大小吴将用一种非常通俗的解释为你拆解它背后的奥秘.

1 从直线与正方形开始考虑

我们先来看一种最简单的情况.

将硬币抽象成一个直径为1的圆，如果这个圆在直线上滚动，那么很显然，它滚一圈就会滚过一个周长的距离，即为Π.

我们再继续找一个简单的图形来看——正方形.

假设现在有一个正方形，它的周长恰好等于圆的周长.当圆在正方形外侧滚了一周时，我们考虑将正方形的四条边展开成一条长为的线段，当它在这条线段上滚动时，它滚动了一个周长的距离，那么它就会自己完整地转一圈（我们用数字“1”来代替硬币上的图案）.

按道理来说，它也应该会在正方形四周滚动的过程中完整地转一圈.

等等，事实真的是这样吗？

当我们让圆贴着这个正方形的外侧边界进行无滑动的滚动时，在边上的滚动当然没有问题.每条边的长度是圆周长的四分之一，所以圆在每条边上自身会恰好旋转四分之一圈，也即四条边贡献了完整的一圈.

但是——重点来了！

当圆滚到正方形的一个顶点处时，它没法直接横着拐弯，这时候会发生什么？

圆必须原地转动一个角度，才能从一条边切换到另一条边.这个角度显然是90°，也即圆在正方形顶点处转了圈.

一个顶点转1/4圈，四个顶点加起来，正好又是1圈!

也就是说:

总圈数=沿边的滚动（1圈）+ 顶点处的转动（1圈）=2圈.

2 推广到任意正多边形

在上面对正方形的讨论中，圆在顶点处的纯转动的角度是90°.让我们再深入思考一下这个90°的本质是什么？

实际上，圆在顶点处的纯转动改变了自身的运动方向，而这个改变的角度90°正好就是正方形的外角.

你可能觉得这只是在正方形里碰巧成立，那让我们再看看其他的正多边形.

先来看正五边形.正五边形每条边对应的外角是72°.

所以在五个顶点处，圆的纯转动的角度加起来是：

5*72°=360°

也即转了完整一圈！

正六边形呢？每个顶点转60°（你可以自己画个图看看），六个顶点加起来同样是360°，又是1圈.

无论边数是多少，所有凸多边形的外角和都是360°.因此，不论是什么样的正多边形（正方形、正五边形、正六边形……甚至是一般的凸多边形），圆在绕其滚动时，光是在顶点处额外纯转动的部分就正好贡献了一整圈！

所以，只要多边形的周长与圆的周长相等，沿边滚动贡献的圈数就是1圈，加上顶点处多出来的1圈，总圈数等于2圈！

3 从多边形到圆的“飞跃”

顺着刚才的思路想下去，如果正多边形的边数变得越来越多，它会越来越接近一个光滑的圆.

那么，原来分布在各个顶点处的那些“纯转动”去哪儿了？

顶点“消失”了，变成了连续光滑的弧线.原本离散的转角——每个顶点转一个微小角度——变成了连续地调整方向.在这个过程中，方向调整的总和依然是360°!

也就是说，当一枚硬币紧贴另一个圆的外侧滚动时，它无时无刻不在“微微拐弯”，而这些“微微拐弯”累积起来，恰好就是一整圈的额外自转.

这就是“多一圈”背后的几何本质.

4 结论

当我们再遇到这样的问题：一个半径为的小圆在半径为的大圆外侧作无滑动滚动时，问小圆自身需要滚几圈才能回到初始位置？

现在我们就知道了，答案并不是直接用大圆周长来作为小圆经过的路程除以小圆周长得到圈数，而需要再额外加上小圆自身转过的一圈，也就是说，正确的圈数应为

5 继续思考

那么，你能沿用这篇文章的思路去尝试分析小圆在大圆内部滚动的情况吗？现在小圆自身需要滚几圈才能回到初始位置呢？答案可以类比上面的情形哦！