木桶不等式

木桶不等式

盛水的木桶是由多块木板箍成的，盛水量也是由这些木板共同决定的，所谓木桶原理是说一只木桶的盛水量并不取决于桶壁上最长的那块木板，而取决于最短的那块木板。若其中一块木板很短，则此木桶的盛水量就会被大大限制。

一般地，对于任意实数  和 ，有如下两个结论。

① 若  是定值，则当  越小时， 越大。

② 若  是定值，则当  越小时， 越小。

符合以上关系的不等式称为木桶不等式。

这两个结论可用不等关系来表述。

木桶不等式的证明过程如下。

① 由恒等式  知，若  是定值，则当  越小时， 越大。

② 由恒等式  知，若  是定值，则当  越小时， 也越小。

现有两只木桶，它们所使用的木料是相当的，但一只木桶中各块木板的长度基本相同，另一只木桶中各块木板的长度却参差不齐，有些很长，有些则极短。请问哪只木桶能盛较多的水？根据木桶原理，当然是前者了，因为木桶的盛水量由最短的那块木板所决定！若把各块木板看成数字，这不恰恰就是几个数的和一定，它们的差距越小，则它们的积越大吗？

恒等式

称为极化恒等式，它最早出现在泛函分析中，是连接内积与范数的核心公式：既可以用来判断一个赋范线性空间能否成为内积空间，也能将内积用范数的形式表示出来。

这三个式子共同揭示了

之间的数量关系，由此派生出了一些不等关系，木桶不等式便是一例。

下面证明两个推论。

推论 1 若 ，且 ，则 。

证明：，。用前面的不等式减去后面的等式，可得 ，所以 。

从几何的角度来说，推论 1 表示在周长一定的长方形中，正方形的面积最大。

推论 2 若 ，且 ，则 。

证明：，。将这两个式子相加，可得 ，所以 。

从几何的角度来说，推论 2 表示在面积一定的长方形中，正方形的周长最小。

例题：

设 ， 为任意正实数。

① 证明：若  为定值 ，则当  时， 有最大值 。

② 证明：若  为定值 ，则当  时， 有最小值 。

① 证明：因  为定值 ，所以由木桶不等式知，当  最小时， 最大。又因为 ， 为任意正实数，所以当  时， 取最小值 。此时，， 取最大值 。

② 证明：因为  为定值 ，所以由木桶不等式知，当  最小时， 也最小。又因为 ， 为任意正实数，所以当  时， 取最小值 。此时，， 取最小值 。