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初中数学：隐圆最值问题

英才学习-阿江2年前 (2023-05-23)圆1542

初中数学：隐圆最值问题

在中考数学中，有一类高频率考题，明明图形中没有出现“圆”，但是解题中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。

在考察“隐圆”的时候，题目当中往往会在“隐圆”的基础之上去考察各种最值问题，如：线段最值、周长最值、面积最值、角的最值等。

根据圆的定义，在解决几何问题中，只要观察出几个点到同一个定点的距离相等，这里就常常隐藏一个圆就是＂隐圆＂。

首先让我们了解下最值问题，主要用到以下几个几何性质：

1.三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

2.两点间线段最短；

3.连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；

4.定圆中的所有弦中，直径最长。

“隐圆”主要涉及如下几类最值问题：

一、圆外（内）一点与圆上一点距离最值

1.P为圆O外一定点，则点P与圆心O距离为定值，那么P点与圆上各点的连接线段中，最小值为下图1中PA，最大值为下图2中PA.

2.P为圆O内一定点，则点P与圆上各点的连接线段中，最小值为下图1中PA，最大值为下图2中PA.

3.P为圆上一定点，其到圆上其它各点的连接线段中，最大值为直径，最小值为0.

二、定点定长模型

1.AO=BO=CO=DO

2.若AB=AC=AD，则B、C、D三点是以A点为圆心、AB长为半径的圆上。

三、定弦定角模型

1.同弧（同弦）所对圆周角相等

2.定弦对定角（锐角）

3.定弦对定角（钝角）

4.“定角对定高模型”——线段最值；

在三角形中，如果这个三角形的一个角确定，由这个角的顶点向对边引的垂线即高也确定，则此时这个角的顶点所对应的变有最小值。

如下图，直线BC外一点A，A到直线BC距离AD为定值（定高），∠BAC为定角。则BC有最小值。

通过连接BO,BC=2BH,BH=BO*SIN∠BOH，BC=2*BO*SIN∠BOH要想BC最小，那么就是半径要最小。

简证:OA+OH≥AD,

∵四边形OEDH为矩形,∴OH=ED,

在Rt△AOE中,AO>AE,∴AO+OH=AO+ED>AE+ED=AD

定角定高模型：构成等腰三角形（AC＝BC）时：

（1）AB线段长度最小；（2）△ABC面积最小；（3）△ABC周长最小。

5.“定角对定边模型”——面积最值

在三角形中，如果这个三角形的一个角确定，由这个角的顶点向对边引的垂线即高也确定，则此时这个三角形面积会存在最小值。

如下图，直线BC外一点A，A到直线BC距离AD为定值（定高），∠BAC为定角。则BC有最小值。ΔABC的面积由BC决定，BC有最小值，所以ΔABC的面积有最小值。像探照灯一样所以也叫探照灯模型。这就是“隐形圆”中重要的定角定高模型，定角定高模型主要解决面积最小问题。

定角定高问题常应用于求此三角形底边长的最小值，继而求三角形面积的最小值，问题的关键就在作这个动三角形的外接圆，根据“半径+弦心距定高”求出半径的最小值，那底边存在最小值，面积存在最小值。由于底边的长在变化，此外接圆“隐形圆”的大小也会发生变化，但是在运动过程中于找到“隐形圆”半径最小值，找到此处为突破口，建立数学模型，综合性问题就迎刃而解。

那么，如图确定△ABC面积的最小值呢?

首先我们连接OA,OB,OC。过O点作OH⊥BC于H点.(如上图)

显然OA+OH≥AD,当且仅当A,O,D三点共线时取“=”。由于∠BAC的大小是一个定值,而且它是圆O的圆周角，因此它所对的圆心角∠AOB的度数，也是一个定值。

因此OH和圆O的半径，有一个固定关系，所以，OA+OH 也和⊙O的半径，有一个固定的等量关系。再根据我们刚才说的，OA+OH≥AD，就可以求得圆O半径的最小值。

简证:OA+OH≥AD,

∵四边形OEDH为矩形,∴OH=ED,

在Rt△AOE中,AO>AE,∴AO+OH=AO+ED>AE+ED=AD

6.“定角对定边模型”——周长最值