初中几何：三角形中有关角平分线、中线相关定理和性质

一、三角形角平分线

1.定理1：定理角平分线上的点到这个角两边的距离相等。

逆定理：在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

2.定理2：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。

逆定理：如果三角形一边上的某个点与这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线。

3.角平分线长

如上图：和斯特瓦尔特定理可以推导出三角形内的角平分线长公式。

如图在△ABC中，AD平分∠BAC

可设AB=x,AC=y,BD=u,CD=v，则BC=u+v

由定理2我们知道 AB:AC=BD:CD，所以xv=uy

由斯台沃特定理，有w²=(x²v+y²u)/(u+v)-uv

用u=xv/y,v=uy/x替换原式中的u和v

即得AD²=xy-uv=AB×AC-BD×DC

4.

角平分线如何做辅助线，可以查看后面链接：https://yc8.com.cn/wenzhang/202305/2846.html

二、三角形中线

1.中线定理
中线定理（pappus定理），又称重心定理，是欧氏几何的定理。
三角形中线定理：三角形一条中线两侧所对的边平方和等于底边平方的一半与该边中线平方的两倍的和

即，对任意三角形△ABC，设是I线段BC的中点，AI为中线，则有如下关系：

AB²+AC²=2BI²+2AI²

或

AB²+AC²=（1/2）BC²+2AI²

中线定理证明如下：

AI是△ABC的中线，AH是高线。

利用勾股定理来证明。

在Rt△ABH中，有AB²=AH²+BH²

同理，有AI²=AH²+HI²，AC²=AH²+CH²

并且BI=CI

那么，AB²+AC²

=2AH²+BH²+CH²

=2(AI²-HI²)+(BI-IH)²+(CI+IH)²

=2AI²-2HI²+BI²+IH²-2BI×IH+CI²+IH²+2CI×IH

=2AI²+2BI²

2.三角形中线长

设△ABC的角A、角B、角C的对边分别为a、b、c。

三角形的三条中线都在三角形内。

三角形的三条中线长：

三角形的三条中线交于一点，该点叫作三角形的重心。

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4。